函数的对称性的常用结论
函数的对称性的常用结论，都有相应的图形说明和严谨的证明过程。
预备知识
①设点\(P(a，b)\)，则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a，b)\)，
即两点\(P(a，b)， Q(2m-a，b)\)关于直线\(x=m\)对称。
②有关轴对称的概念
函数自身对称
1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\)，反之亦成立；
2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称)，则\(f(a+x)=f(a-x)\)，反之亦成立；
3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，反之亦成立；
4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a，b)\)对称，则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)抽象函数的对称性验证。
5、若函数\(f(x)\)是偶函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=2a(a>0)\)；[1]
6、若函数\(f(x)\)是奇函数，其图像关于直线\(x=a\)对称，则\(T=4a(a>0)\)；[2]
7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)和\(x=b\)对称，则\(T=2|a-b|\)；[3]
8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)和点\(N(b，0)\)对称，则\(T=2|a-b|\)；[4]
9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b，0)\)对称，则\(T=4|a-b|\)；[5]
两个函数对称
1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0，0)\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a，b)\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于点\((a，b)\)的对称点\((2a-x_0，2b-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=0\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴，即直线\(x=m\)对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0，y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上，反之亦成立；
典例剖析
证明：设点\(A(m，n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点，则有\(n=f(m)\)
易知，点\(A(m，n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(B(a+b-m， n)\)
由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)，
令其中的\(x=m-a\)，则代入上式可得：\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)
又\(f(m)=n\)，\(f(m)=f(a+b-m)\)，∴\(n=f(a+b-m)\)，即点\(B(a+b-m， n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。
由点\(A(m，n)\)的任意性可知，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。
证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x+a)\)
又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x， y)\)
∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\)，即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)
∴点\(Q(b-a-x，y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。
即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，
关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。
解：这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
证明：设点\(P(x，y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点，则有\(y=f(x-a)\)
又点\(P(x，y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)
∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\)，即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)
∴点\(Q(b+a-x，y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x，y)\)，
关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x，y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。
故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。
反思总结：其实例3可以直接用例2的结论。
这样用：对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。
法1：用具体函数做例子，将抽象问题具体化，比如\(f(x)=x^2\)，
则\(f(3-x)=(3-x)^2\)，\(f(1+x)=(1+x)^2\)，做出这两个图像可知，
函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称，
注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。
法2：利用图像变换做抽象说明，以函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)为模板来解释，
函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称，将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\)，
将\(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)，
故此时的两个函数\(f(x+1)\)与\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。
法1：仿上法1，得到\(b=-1\)。
法2：将\(f(x)\)向左3个单位，得到\(f(3+x)\)，将\(f(-x)\)向右1个单位，
得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\)，故函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。
反思总结：
①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？
若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\)，函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称，
此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；
而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。
②、怎么理解？
【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，
则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。
解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，
\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，
\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)
在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，
则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，
将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)
则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，
即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，
也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，
又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，
函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，
故为真命题。
法1：采用特殊化策略，将抽象问题具体化，令 \(f(x)=2^x\) 在列举具体函数时，尽可能的在基本初等函数范畴内列举，方便操作；同时注意尽可能的列举不要太特殊的函数，比如有对称性的，或者有周期性的函数，这样我们容易出现不必要的偏差，导致出错； ，则 \(f(x+1)=2^{x+1}\)， \(f(-x-1)=2^{-x-1}\)，结合函数图像的变换，可知选 \(C\) .
法2：抽象化思考，由于函数 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\) 的图像关于直线 \(x=0\) 对称，将 \(f(x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 \(x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(x+1)\)；将 \(f(-x)\) 向左平移 \(1\) 个单位[用 \(x+1\) 替换 单独的\(x\)而不是 \(-x\)，即实现图像向左平移 \(1\) 个单位]得到 \(f(-(x+1))\)\(=\)\(f(-x-1)\)，这样的平移结果使得 \(f(x+1)\) 与 \(f(-x-1)\) 关于直线 \(x=-1\) 对称[将原来关于直线 \(x=0\) 对称平移后得到关于直线 \(x=-1\) 对称]，可知选 \(C\) 。
分析：\(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数，且当 \(x\geqslant 0\) 时，\(f(x)=x(x－4)\)，
当\(x<0\)时，\(-x>0\)，则\(f(-x)=-x(-x-4)=-f(x)\)，
即\(x<0\)时，\(f(x)=-x(x+4)\)，则有\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-4)，x\geqslant 0}\\{-x(x+4)，x<0}\end{array}\right.\)
作出\(y=f(x)\)和\(y=f(2-x)\)的图象如图，\(y=f(2-x)\)的图象与\(y=f(x)\)的图象关于\(x=1\)对称，
作出\(y=f(2-x)\)的图象，由图象知\(y=f(2-x)\)与\(y=f(x)\)的图象有三个交点，
即\(f(x)=f(2-x)\)有三个根，其中一个根为\(1\)，另外两个根\(a\)，\(b\) 关于\(x=1\)对称，
即 \(a+b=2\)，则所有根之和为\(a+b+1=2+1=3\)，故选：\(C\).
证明：由函数\(f(x)\)是偶函数，得到\(f(-x)=f(x)①\)；
又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
由①②得到，\(f(2a-x)=f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
即\(f(x+2a)=f(x)\)，故\(T=2a(a>0)\)； ↩︎证明：由函数\(f(x)\)是奇函数，得到\(-f(-x)=f(x)①\)；
又函数图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)②\)，
由①②得到，\(f(2a-x)=-f(-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)，
即\(f(x+2a)=-f(x)\)，故\(T=4a(a>0)\)； ↩︎证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称，得到\(f(x)=f(2b-x)②\)；
即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎证明：由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)；
又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)；
即\(f(2a-x)=f(2b-x)\)，即\(f(x+2a)=f(x+2b)\)，用\(x-2a\)替换\(x\)，
得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\)，故则\(T=2|a-b|\)； ↩︎证明：由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，得到\(f(x)=f(2a-x)①\)；
又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b，0)\)对称，得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)，
故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\)，用\(-x\)替换\(x\)得到，\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)，
再用\(x-2a\)替换\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)，
即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\)，故\(T=4|a-b|\)； ↩︎
